Necesidad y Suficiencia – Relación / Implicación Matemática

Muy buenas a todos los que entréis a leer una explicación sobre los términos de Necesidad y Suficiencia en lenguaje matemático porque estáis tan perdidos como yo estos dos últimos días.

No hace mucho que empecé un curso de Introducción al Pensamiento Matemático, de modalidad Online en la prestigiosa Universidad de Stanford, de la mano del doctor en matemáticas Keith J. Devlin, y para mi sorpresa, nada más terminar el tema de introducción, me di de lleno contra un buen muro: las condiciones o relaciones de implicación entre dos declaraciones o premisas.

Tras muchas horas invertidas hasta simplificarlo al extremo, quiero dejar plasmadas mis conclusiones para ayudar a quien lo necesite y, sobre todo, para poder recurrir a ellas cada vez que me vea perdido resolviendo este tipo de problemas de razonamiento lógico matemático.

Necesidad (⇒) y Suficiencia (⇐) en Matemáticas – Explicación sencilla

El primer párrafo de la Wikipedia, traducido al español, dice así:

En lógica y matemáticas, necesidad y suficiencia son términos utilizados para describir una relación condicional o de implicación entre dos enunciados. Por ejemplo, en el enunciado condicional "Si N entonces S", S es necesario para N, porque la verdad de S está garantizada por la verdad de N (de forma equivalente, es imposible tener N sin S) De forma similar, N es suficiente para S, porque que N sea verdadero siempre implica que S sea verdadero, pero que N no sea verdadero no siempre implica que S no sea verdadero.

Y ya empieza a verse que es algo complicado seguirle el ritmo a la explicación, y aunque las palabras por sí solas expliquen brevemente el funcionamiento de estas relaciones o condiciones de implicación, no terminan siendo precisas al tratarlas en el lenguaje natural, así que empezaremos por lo básico:

conceptos de necesidad y suficiencia en matemáticas

¿Cómo funciona la Tabla de Verdades?

Para que la Tabla de Verdades tenga como resultado una Verdad, es requerido que las dos condiciones o premisas tengan sentido lógico. Esto quiere decir que mientras se pueda dar un caso real en el que existan cada una de las premisas, el resultado será verdad, indiferentemente de que las premisas en sí mismas sean verdaderas o falsas.

Podemos verlo a continuación con un ejemplo:

Llamaremos S a «ser padre«, y llamaremos N a «ser hombre«.

Si tomamos en cuenta las cuatro combinaciones posibles obtenemos la siguiente tabla:

S – Ser padreN – Ser hombreResultado
Eres padreEres hombreEs posible (veradero)
Eres padreNo eres hombreNO es posible (falso)
No eres padreEres hombreEs posible (veradero)
No eres padreNo eres hombreEs posible (veradero)

Como podéis ver, estos razonamientos no siguen una lógica propiamente booleana, que es a la que más acostumbrados estamos. En el álgebra booleana la combinación de las condiciones altera el resultado de manera directa, y aquí, en cambio, no es su combinación per sé la que da forma al resultado, sino su combinación junto al contexto dado.

En resumen: las dos condiciones dan un resultado verdadero siempre que se puedan combinar y producir un ejemplo real.

Ahora pasemos a algo un pelín más complejo: ¿Son premisas con una relación de Necesidad, de Suficiencia, o Bidireccional?

Relación de Necesidad (S ⇒ N)

Una relación de Necesidad siempre se escribe con la notación «(S ⇒ N)», e interpretado en el lenguaje humano las oraciones que mejor describen esta relación son:

  • si S, entonces N → «si eres padre, entonces eres hombre».
  • S implica N → «ser padre implica ser hombre».
  • S sólo si N → «eres padre sólo si eres hombre».
  • N, si S → «eres hombre, si eres padre».
  • N siempre que S → «eres hombre siempre que seas padre».
  • N cuando S → «eres hombre cuando también eres padre».

En este caso, la segunda premisa «ser hombre» es NECESARIA para que se cumpla la primera condición «ser padre». Así pues, la relación de necesidad funciona en el sentido contrario al que indica la flecha (al menos tomando en cuenta el uso catidiano de las flechas).

De este modo, se genera la tabla que hemos visto anteriormente:

S – Ser padreN – Ser hombreResultado (S ⇒ N) (Relación de Necesidad)
Ser padreSer hombreEs posible (veradero)
Ser padreNo ser hombreNO es posible (falso)
No ser padreSer hombreEs posible (veradero)
No ser padreNo ser hombreEs posible (veradero)

En donde vemos que si no eres padre, no existe la necesidad de ser hombre, así que el resultado será siempre verdadero. En cambio, si se da el caso de que sí eres padre, es obligatorio que seas hombre, o de otro modo, la combinación de ambas no tendrá un sentido lógico. ¿Se entiende?

Estamos entrando en aguas turbulentas 🙂

En resumen: Para comprobar que una relación implica necesidad, es imprescindible probar que no tiene sentido que se cumpla la primera premisa sin cumplirse la segunda. Ese es el único detalle importante de todo esto. Una vez comprobado que es una relación de necesidad, también cabe la posibilidad de que sea una relación bidireccional; sigue leyendo para que te quede todo esto claro ;p

En mayor resumen todavía: Que la primera premisa sea verdadera, garantiza la verdad de la segunda. Si la segunda fuera falsa, no existiría un sentido lógico.

Relación de Suficiencia (S ⇐ N)

Una relación de Suficiencia siempre se escribe con la notación «(S ⇐ N)», y algunas de las oraciones que yo creo que mejor describen esta relación son:

  • si no S, entonces no N → «si no tienes una carrera, no eres médico».
  • no S implica no N → «no tener una carrera implica que no eres médico».
  • N sólo si S → «eres médico sólo si tienes una carrera».

Volviendo a la explicación…

En este caso, que se cumpla la primera premisa es SUFICIENTE para afirmar que el resultado será verdadero, mientras que si la primera condición no se cumple, el resultado dependerá de la segunda oración y el sentido lógico que puedan tener al combinarse.

De este modo, al tomar el ejemplo anterior, NO podemos decir que ser padre es suficiente para saber que el resultado será verdadero (recuerda que el resultado es verdadero solo si la combinación de ambas premisas tiene sentido), ya que podría darse el caso de «ser padre» y «no ser hombre», en donde el resultado será falso.

En cambio, si las premisas fueran: S = «tener una carrera«, y N = «ser médico«, podríamos decir que S (tener una carrera), es suficiente para que el resultado sea verdad (dicho de otro modo: que existen casos reales sea cual sea la segunda premisa).

S – Tener una carrera UniversitariaN – Ser médicoResultado (S ⇐ N) (Relación de Suficiencia)
Tener una carreraSer médicoEs posible (veradero)
Tener una carreraNo ser médicoEs posible (veradero)
No tener una carreraSer médicoNO es posible (falso)
No tener una carreraNo ser médicoEs posible (veradero)

En donde vemos que si no tienes una carrera, tampoco podrás decir que eres médico, o de otra forma, la combinación de ambas premisas no tendría sentido. En cambio, si se da el caso de que sí tienes una carrera, no importa tanto la segunda premisa porque la combinación de ambas siemrpe tendrá un sentido lógico. ¿Se entiende?

En resumen: Para comprobar que una relación implica suficiencia, es imprescindible demostrar que si no se cumple la primera premisa no puede cumplirse la segunda. Ese es el único detalle importante de todo esto. Una vez comprobado que es una relación de necesidad, también cabe la posibilidad de que sea una relación bidireccional; sigue leyendo para que te quede todo esto claro ;p

En mayor resumen todavía: Que la primera premisa sea falsa, garantiza la falsedad de la segunda. Si la segunda fuera verdad, no existiría un sentido lógico.

Relación de Necesidad y Suficiencia (Bidireccional) (S ⇔ N)

Una relación de Necesidad y Suficiencia (o relación bidireccional) siempre se escribe con la notación «(S ⇔ N)» o » (N ⇔ S) «, y algunas de las oraciones que yo creo que mejor describen esta relación son:

  • S es necesario para N, y N es necesario para S.
  • S si N, y no S si no N.
intersección entre necesidad y suficiencia

Volviendo a la explicación…

En una relación bidireccional se cumple que cualquiera de las dos condiciones en NECESARIA para que se cumpla la otra. De este modo podemos afirmar que si se cumple la condición S, se cumplirá también N, y que si por el contrario no se cumple S, tampoco deberá cumplirse N.

S – Es 5 de AgostoN – Es mi cumpleañosResultado (S ⇐ N) (Relación de Suficiencia)
Es 5 de AgostoEs mi cumpleañosEs posible (veradero)
Es 5 de AgostoNo es mi cumpleañosNO es posible (falso)
No es 5 de AgostoEs mi cumpleañosNO es posible (falso)
No es 5 de AgostoNo es mi cumpleañosEs posible (veradero)

La relación simultánea de necesidad y suficiencia para mí es la más clara de las tres, ya que si demuestras que las dos premisas necesitan el mismo valor (o las dos positivas, o las dos negativas), ya podrás afirmar que se trata de una relación bidireccional.

Dicho de otro modo, basta con demostrar que las premisas positiva-negativa y negativa-positiva no tienen un sentido lógico.


Espero haberte ayudado un poco si estabas estudiando estos conceptos filosóficos y matemáticos y no los entendías. Recuerda que siempre puedes dejar un comentario preguntando algo relacionado o con el propósito de ayudar a otras personas que lean ese comentario.

Además, existe un segundo post hablando sobre los cuantificadores de existencia, también relacionado estrechamente con este curso y las matemáticas.

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