Cuantificadores de Existencia – Explicación sencilla – Matemáticas

En el transcurso de estos últimos tres meses he tenido unas tardes bastante ocupadas mientras estudiaba para conseguir el certificado de Introducción al Pensamiento Matemático, con el Doctor en matemáticas Keith Devlin, de la Universidad de Stanford. En él he descubierto conceptos de matemáticas muy interesantes, como son las condiciones de suficiencia y necesidad, a las que ya dediqué un post, o los cuantificadores de existencia.

La única intención de crear estos pequeños resúmenes es, en un principio, la de poder asimilar mejor estos conceptos y dejar unos pequeños y sencillos apuntes por si en el futuro pudiera necesitarlos. Sin embargo, ya que los iba a hacer de todos modos, he decido publicarlos en el blog, por si alguien llega a necesitar una explicación sencilla (de introducción) a estos conceptos.

Cuantificadores de Existencia en Matemáticas

Principalmente, cuando hablamos de cuantificadores de existencia en matemáticas, nos vamos a encontrar con dos símbolos concretos:

• El símbolo «∃», que significa «existe al menos un caso».
• Y el símbolo «∀», que significa «para todos los casos».

También existe un tercer símbolo bastante útil que es «∈», y significa «pertenecer a un conjunto».

Con esta tan simple explicación, vamos a sumergirnos un poco más en los conceptos de «cuantificadores de existencia»; aunque si no conoces aún las condiciones de suficiencia y necesidad, necesitarás entenderlas para poder comprender algunos ejemplos concretos de esta explicación.

Utilidad de los Cuantificadores de Existencia

Hasta donde yo he podido apreciar, su utilidad radica en poder escribir de forma abreviada y muy precisa conceptos o frases que requerirían un mayor nivel de interpretación o lectura sino estuvieran escritas con símbolos matemáticos.

Cómo se utilizan

Para escribir de manera efectiva estos cuantificadores de existencia en lenguaje matemático, tendrás que hacerlo siempre acompañados de un dominio de cuantificación, y a la izquierda de una condición o característica. ¿Qué significa esto?

Lo que quiero decir es que necesitas cuantificar algo en concreto, y después dejar claro qué características o condiciones cumple.

Por ejemplo: ∀x ∈ N (x > 0), que significa «Para todas las x que son un número natural, se cumple que x es mayor a cero«. (Teniendo en cuenta que el 0 no es número natural).

La x en realidad puede ser cualquier cosa: números, personas, libros… y también pueden combinarse diferentes cuantificadores y diferentes dominios de cuantificación.

Por ejemplo: ∀x ∃y (x <= y) «Para cualquier número que escojas, existe un número que es mayor o igual a ese.»

[En construcción…]

Conceptos complicados de los Cuantificadores de Existencia en Matemáticas

Negaciones de cada Cuantificador de Existencia

Negación simple

Aunque parezca sencillo interpretar la negación de los cuantificadores de existencia dentro de las matemáticas, a mí me costó un rato pillarlo, y es que no es tan simple como negar la frase entera.

Por ejemplo: para la frase: ∀x [ P(x) ] «De entre todas las x, todas cumplen la propiedad P«, podrías pensar que su negación es: ∀x ¬[ P(x) ] «Para todas las x, ninguna tiene la propiedad P«. Sin embargo, su negación es la siguiente: ∃x ¬[ P(x) ] «Existe un x que no cumple la propiedad P«. Como puedes ver, esta segunda negación también tiene sentido, ya que con encontrar un caso que anule la primera afirmación, estarías pudiendo negarla; de hecho, tiene el único sentido lógico que puede tener la negación de ∀x [ P(x) ], pero puede llegar a costar entenderlo así.

De hecho, ∀x ¬[ P(x) ] no es la negación de ∀x [ P(x) ], sino de ∃x [ P(x) ]. Por si en la primera frase dices «Ninguna x cumple con la propiedad P«, en esta última frase estás diciendo «Existe un x que sí que tiene la propiedad P«. De este modo podrías afirmar que la primera frase es falsa.

Negación más compleja

Pero el arte de negar cuantificadores de existencia no se queda solo en lo que hemos visto arriba. Existen muchas más combinaciones que nos van a volar la cabeza al intentar entender su negación. Por ejemplo: ∃x [ P(x) ∧ ¬Q(x)], que significa: «Existe una x que tiene la propiedad P y no tiene la propiedad Q«.

La forma de negar esta frase es: ∀x [¬P(x) ∨ Q(x)], que significa: «Todas las x, o no cumplen P, o cumplen Q«. ¿Qué sentido lógico tiene esto?

Pues todo el del mundo, claro. Si al principio estás diciendo que existe una x que cumple una propiedad y no la otra, la forma lógica de negarla es afirmar que absolutamente todas las x, o no cumplen la primera propiedad o sí cumplen la segunda. De este modo estaríamos consiguiendo que la primera afirmación nunca pudiera ser cierta, para ninguna combinación.

Además, volviendo al tema de las condiciones de suficiencia y necesidad, también tenemos que la negación de ∃x [P(x) ∧ ¬Q(x)] puede expresarse como ∀x [P(x) ⇒ Q(x)], ya que teniendo en cuenta que P implica Q, encontramos justo la misma condición que antes: no puede ocurrir que se cumpla P, y no se cumpla Q, porque de nuevo: P implica Q. De este modo observamos cómo existen ciertas equivalencias entre las conjunciones lógicas y las condiciones de implicación y necesidad.

Equivalencias a tener en cuenta

Como hemos visto en el ejemplo anterior, existen ciertas igualdades y desigualdades que es conveniente conocer. Estas son:

Normas lógicas:

• Al negar un ∃, se transformará en un ∀, y viceversa.
• Al negar un ∧, se transforma en un ∨, y viceversa,
• Dos condiciones con la forma ¬P(x) ∨ Q(x) pueden expresarse también de la forma P(x) ⇒ Q(x).

Cuidado con:

• Decir ∀x [P(x) ∨ Q(x)] NO es lo mismo que decir ∀x [P(x)] ∨ ∀x [Q(x)].
• Decir ∃x [P(x) ∧ Q(x)] NO es lo mismo que decir ∃x [P(x)] ∧ ∃x [Q(x)].

Sin embargo:

• Decir ∀x [P(x) ∧ Q(x)] SÍ que es equivalente a ∀x [P(x)] ∧ ∀x [Q(x)].
• Decir ∃x [P(x) ∨ Q(x)] SÍ que es equivalente a ∃x [P(x)] ∨ ∃x [Q(x)].